Movimientos en el plano

1- Sean A, B y C , 3 puntos no alineados, sentido horario.
C ( B ) de A =A1, C ( C ) de A1= A2, C ( A ) de A2= A3
a) Sea D el punto de intersección de CB con A1A3, probar que D es punto medio de A1A3
Probar que C ( B ) de C = D
b) Determinar M/ R ( C, ángulo ACB hor. ) . M . T ( A3A1 ) = R ( C, ángulo ACB hor. ) . C (C)
c) Hallar el punto del contorno del triángulo A1A2A3/ la distancia a su imagen sea mínima segun M
Calcular area y perímetro del A1A2A3 en f (ABC ) sabiendo que M ( A1A2A3 ) =A´1A´2A´3


2- ABCD es un cuadrado antihorario. E es el punto medio de AB . O es el centro del cuadrado.
Deducir I / I = R ( E, 90ºhor.) . R ( O, 90ºant.)


3- a) Construir un triángulo ABC de base AB= 4cm y ángulo C=50º. Elegir la solución en que el triángulo es isosceles.
b) Calcular su area
c) Resolver el movimiento producto M = S ( AB ) . S ( AC ) . C ( A )

4- ABC, ACM y CMN son triángulos congruentes equiláteros.Determinar las isometrías que transforman el ABC en a) MCN b) MNC c) CNM d) CMN e)NMC

Movimientos en el plano

1- a) Construir un petágono regular ABCDE de 2cm de lado.
b) Aplicar M = S(DE) . R (o, 60º horario) . S (d ) siendo d una recta tg en D a la cfa circunscripta al pentágono.

2- Construir un paralelogramo tipo ABCD sabiendo que una de sus diagonales AC = 3cm y es perpendicular al lado AB y que BC= 4cm.
Calcular el área del paralelogramo.
Aplicar M = T( 2DC) . C (D ). S( BD)

3- Sea ABCD un cuadrilátero inscriptible/ ángulo BCD = 45º, la diagonal BD = 4 cm y AB= 2cm
Construirlo para que sus diagonales sean perpendiculares
Aplicar M = C( E ). T (DC ). R (A,75ºant.) . S (AB)
E pertenece a BD y dista 6cm de B y 2 de D.

4- Se da un cuadrado ABCD de lado 3cm y se considera M = R ( A, 90ºant. ) . C (B) . S (CD)
Hallar el movimento producto.

5- Sea ABC un triángulo equilátero.
Hallar M = T ( AC ) . S (BC ) . C ( P ), siendo Pun punto cualquiera del plano.

6- ABCD es un rectángulo
Hallar M = S (AD ) . C (C ) . T ( AB )

7- Sea ABC un triángulo rectángulo isósceles / AB=AC.
M es el punto medio de AB y N el de BC
Estudiar M= C ( M ) . T ( AC ) . R ( N, 90ºant. )

8- ABCD es un rombo
M es el punto de intersección de sus diagonales
Efectuar M = R ( A, 90ºhor. ) . T( AM)

9- ABCD es un paralelogramo tipo/ AB=4, AC=6, hAB= 3
Sea M = C( A) . S( AB) . T (BD) .T( AC)
Hallar la imagen resultante

10- ABCD es un cuadrilátero inscripto en una cfa, AB = 3 cm, ángulo ACB =45º, BD = 2cm, ángulo BCD = 30º
Resolver M = C (C) . C (A ). C( B) . R( A, 90ºhor.)

Movimiento y L.G.

Sea A un punto fijo de una cfa C. Se considera la rotación de centro A y ángulo a menor de180º, sentido antihorario. Sea Pi un punto variable de la cfa y P´i su imagen en la rotación.
a) L.G. del incentro del triángulo APiP´i al variarPi sobre la cfa.
b) Hallar los puntos de la cfa que distan de su imagen una distancia dada h. Discutir.

Lugar Geométrico

1- Se da un triángulo ABC, rectángulo en A, y un punto fijo M sobre la hipotenusa. Se traza por M una recta variable que corta a los catetos AB y AC en B´y C´. Se trazan las cfas MBB´y MCC´.
Hallar el lugar geométrico de P intersección de ambas cfas.

2- Se da una cfa y los puntos A y B fijos en ella. Se consideran los triángulos MAB siendo M un punto variable de la cfa a) L.G. del incentro b) L.G. del ortocentro.

3- Se da una cfa fija y un diámetro fijo a. Se considera Ti variable sobre la cfa. Sea TiBi perpendicular a ´a´ y sobre OTi se toma Ai / OAi =TiBi (siendo O el centro de la cfa ). L.G.de
Ai al variar Ti sobre la cfa.

4- Se da una cfa de centro O y radio r y un diámetro fijo AB. Se trazan diámetros variables y se
construye el rectángulo APQR con P y Q pertenecientes al diámetro variable, y R sobre la cfa
a) Trazar el diámetro de modo que APQR sea un cuadrado
b) L.G. del centro del rectángulo y del punto Q al variar el diámetro.
c) Construir el rectángulo de área máxima.

5- Sea una cfa de centro O y una recta r.
M es un punto cualquiera de la recta desde el cual se trazan las tangentes MN y MP a la cfa.
La cuerda NP corta a OM en A y a la perpendicular a r, OH en K.
a) Probar que OA.OM =OK.OH =cte y deducir de aqui que K es fijo
b)L.G. de A
c) L.G. del centro de la cfa inscripta al triángulo MNP.

6- Demostrar que la suma de las distanciade los 4 vértices de un cuadrilátero a una recta dada es igual a 4 veces la distancia del punto de intersección de las rectas que unen los puntos medios de los lados opuestos a dicha recta

Examen 1º EMT

1- a) Hallar la función lineal que pasa por los puntos A ( 2,-2) y B ( -1,5 )

b) Graficar

2- Dada la función cuadrática y= x2 – 3x + 2, representarla gráficamente.

3- Resolver el triángulo ABC sabiendo que a = 45. ángulo A= 38º, ángulo B= 87º

4- Resolver log ( x2 – 15x ) = 3 ( base 10 )

Movimientos en el plano

1-Dado un triángulo ABC cualquiera, se aplica simetria central de centro A (CA) y se obtiene AMN simétrico de ABC, se aplica CB y se obtiene BPQ simétrico de ABC y CC y obtengo CRS simétrico de ABC. Se forma un hexágono MNPQRS.

a) Demostrar que el hexágono tiene sus lados opuestos paralelos.

b) Demostrar que el perímetro del hexágono es el triple del perímetro del ABC.

2- a) Construir un triángulo ABC tal que AB= 3cm, la altura desde C ( hC ) =3cm y el ángulo C= 40º. Elegir la solución en que el ángulo C se encuentre mas a la izquierda.

b)Sea A´el simétrico de A respecto de BC, si el ángulo B= 50º, demostrar que el cuadrilátero ABA´C es inscriptible.

c)Resolver el movimiento producto M = S AB . S AC .CA

3- Dados en un plano 2 puntos M y N y 2 rectas r y s, construir un paralelogramo MNPQ tal que los vértices P y Q estén c/u en una de las rectas dadas ( traslación )

4- Dadas 2 cfas C y C´ de centros O y O´ respectivamente, encontrar un punto A de la primera y un punto B de la segunda de tal manera que el segmento AB tenga longitud y dirección iguales a las de un vector dado.(traslación)

5-Dados dos puntos A y B a un mismo lado de una recta dada r, hallar el punto C de r de forma que la suma de los segmentos AC y CB sea mínima ( simetría axial)

6- Construir un triángulo conociendo las longitudes de sus lados a y b y el ángulo a igual a la diferencia entre los ángulos A y B opuestos a los lados dados..(sim. Axial).

7-Dadas dos rectas r y s y un punto P, trazar por P una recta tal que sus puntos de intersección con r y s determinen un segmento cuyo punto medio sea P.( sim. Central)

8- Construir un triángulo ABC dadas las longitudes de sus tres medianas ( sim. Central)

9-Construir un triángulo equilátero cuyos vértices A, B, C estén situados, respectivamente, en las rectas r, s y t que son paralelas entre sí. (rotación)

10-Construir un cuadrado que tenga un vértice en un punto dado O y los dos contiguos A y B en la recta r el primero de ellos y en la recta s el segundo suponiendo que estas rectas no pasan por O.(rotacion)

Regla de Compañía

1 .Tres socios aportan a una sociedad 56.000 dólares en total. Al final del ejercicio la ganancia obtenida es repartida correspondiendoles 2000, 5000 y 7000 dólares a cada socio respectivamente. Averiguar qué capital aportó cada socio.

2. Tres individuos se asocian para fabricar tapones de corcho. El primero pone 12.800 kilogramos de corcho a 29 dólares el kilogramo y 2000 dólares en dinero. El segundo pone 35.000 kilogramos de corcho especial a 60 dólares el kilogramo. El tercero, 9075 kilogramos de corcho de 18 dólares el kilogramo y 2500 dólares en dinero, admitiendo un cuarto socio como director a quien aseguran 10% de las ganancias a obtener. Transcurridos seis meses el primero coloca 7500 dólares más y dos meses después de esto, el tercero retiró 800 dólares. Luego de dos años y medio de abierta la fábrica ganaron un millón y medio de dólares. Que parte de la ganancia retiró cada uno.

3 .Una compañía que esta en actividad desde hace dos años se compone de tres socios. El socio A inicia la compañía con 50.000 dólares de los cinco meses retira un quinto de su capital. El socio B, ingresa a los dos meses de iniciado el negocio con 37.000 dólares y a los cuatro meses agrega 12.500 más. El socios C se integra al año de iniciada la compañía con 73.000 dólares. Se desea repartir una ganancia de 128.000 dólares. Cuánto recibe cada socio.

4.Una persona A inicia un negocio con 45.000 pesos. A los seis meses se asocia una segunda B con 53.000 pesos, dos meses después de esto el socio A retira 13.200 pesos. Diez meses después de iniciada la compañía tiene un tercer socio C, que aporta 34.000 pesos. Un mes después, el socio A retira 8700 pesos. Al año de iniciada la compañía, se reparten una ganancia 18.700 pesos . Cuánto corresponde a cada uno

5. Una señora abre una empresa con 9000 dólares. A los seis meses se asocia otra con 7000. A los tres meses de compartir la empresa, la primera señora agrega 2000 dólares más y a los cuatro meses de esto, retira 20% de su capital. Catorce meses después de formada la sociedad, se reparten 4269 dólares. Cuánto corresponde a cada una

6. Tres personas inician negocio con 13.500, 18.000 y 22.000 pesos respectivamente. Al cabo de dos meses, la primera retira 4000 y la tercera aportan 3700 más. Pasado un año de iniciado el negocio, tienen una pérdida de 5800 pesos. Que parte corresponde a cada una.

7. Cuatro individuos se asocian para poner una fábrica. El primero invierte 23.000 dólares, el segundo 13.700, el tercero 10900 y el cuarto, 9700 dólares. Transcurridos seis meses el primero aportan 3500 más. A los nueve meses de iniciado el negocio, el segundo se retira. Dos años más tarde se reparte una ganancia de 48.000 dólares cuanto toca a cada uno

Regla de 3 compuesta

1- En una oficina se deben digitar datos por computadora, para lo

cual se pide presupuesto a 3 empresas.
La primera, realizaría el trabajo con 3 empleadas trabajando 5hrs por día

durante 4 días. El presupuesto dado por esta empresa es de 2100 pesos.

La segunda empresa lo haría con 6 digitadoras trabajando 4hrs por día c/u, y

cobrarían 290 pesos c/u por jornal.

La tercer empresa pondría 4 empleadas, 4 hrs diarias que cobrarían

por hora c/u 70 pesos.

Cual empresa conviene contratar

2- Para construir un galpón se debe optar por 2 cuadrillas de obreros,

Cuadrilla 1 Cuadrilla 2

3 operarios 4 operarios

12 días jornadas de 8 hrs jornadas de 10 hs

Si por cada jornal de la primera cuadrilla se paga 240 pesos y por

cada jornal de la segunda se paga 210 pesos, cuál es más conveniente

contratar.

3- Se llama a licitación para limpiar una fábrica.

Las 2 mejores ofertas son

a- 5 trabajadores, durante 4días trabajando 8 hrs por dia, cobran

por el total del trabajo, 8000 pesos.

b- 3 trabajadores, durante 5 días cobran por el mismo trabajo, 40

pesos por hora y por trabajador. Cual conviene contratar.

4- En una empresa hay 360 empleados pero sólo el 5 por ciento de ellos

realizan la tercera parte de un trabajo, empleando para ello 12 días de

6 hrs por día. Cuántos días demorarían en terminar el trabajo

25 personas en jornadas de 10 hrs.

5- Dos empresas presentan un presupuesto c/u, para realizar un trabajo.

La empresa A, emplea 4 personas trabajando 9 hrs/d durante 15 días

cobrando por jornal, cada trabajador, 310 pesos.

La empresa B, emplea 6 personas trabajando 8 días y cobra 55 pesos

la hora, cada trabajador. Cual es más conveniente contratar.

6- En una fábrica de ropa, 6 obreros trabajando 8h/d, durante 8 días

realizan 120 prendas. Cuántos obreros más se deberán contratar si

se duplica el número de prendas, los días aumentan un 50 por ciento,

la jornada disminuye en ¼, el rendimiento diminuye a 4/5 y las

dificultades aumentan 1/5.

7- Un motor prendido 4 h/d, durante 3 días consume 7800 watts.

Cuanto consumirá el mismo motor si se usa 7h/d durante 2 días.

8- Seis piezas de tela de 60m de largo por 0,90m de ancho, costaron

10800 pesos. Cual será el valor de 8 piezas de igual calidad que tienen

90m de largo por 1,25m de ancho.

9- Un predio rectangular de 3m de ancho por 4m de largo es alambrado

por 4 personas en 7 horas. Cuántas personas son necesarias para alambrar

otro predio de 4x5m si la tarea se debe realizar en 12 horas.

Ejercicios Interes Simple

1- Se tienen dos capitales que suman 1.500.000. Se colocan a tasas diferentes y la diferencia de las tasas es de 0,04. Los intereses que se obtienen al cabo de un año son de 110.000. Si el primer capital se hubiera colocado a la tasa del segundo y viceversa, los intereses obtenidos serían de 130.000
Determine los capitales y las tasas.

2- Una persona adeuda 500.000 que debe liquidar dentro de 8 meses y que ya incluye los intereses, y 400.000 contratados hoy al 51 % para pagar dentro de seis meses.

Si decide saldar sus deudas con dos pagos iguales, uno dentro de 10 meses y otro dentro de un año, y la operación se calcula al 55%, ¿cuál será el importe de esos dos pagos iguales?

a) Resuelva el problema utilizando la fecha para realizar los cálculos la del primer pago.

b) Haga los mismos usando la fecha del segundo pago.

3- Colocamos 3.000.000 al 52% anual de interés simple. A los cuatro meses la tasa de interés baja al 36% anual, por lo cual decidimos retirar 1.000.000 de capital.

Determine el monto que retiraremos 14 meses después de haber efectuado la colocación.

4.- Dos capitales iguales se colocaron a interés simple. El primero al 45% anual durante 5 meses y el segundo al 32% anual durante 9 meses. Determine la cantidad de cada capital invertido si los montos recibidos de los dos capitales suman 8.496.250.

5- . Disponemos de Bs. 6.000.000 para invertirlos en tres negocios a interés simple. El primero de ellos devenga intereses a una tasa de 36% anual; el segundo gana intereses al 30% anual; y el tercero a una tasa de 45% anual.

¿ Qué cantidad debe colocarse en cada uno de los tres negocios, si se desea que cada uno de ellos gane al año los mismos intereses?.

6-Se invierten 6.000.000 al 14% de interés simple durante 3 años y 6 meses para pagar una deuda que vence al final de ese mismo lapso. Cuando han transcurrido 18 meses la tasa de interés disminuye a 11% anual. Calcular el depósito adicional que debe hacerse para cumplir con la obligación en el tiempo convenido.

7-Para reunir .2.700.000 en un plazo de 48 meses hace el depósito necesario en un instituto financiero que paga el 20% anual de interés simple. Al solicitar la cantidad ahorra al final de los 48 meses, recibo .2.600.000. Al preguntar la causa me contestan que a partir de cierto momento la tasa disminuye a 12% anual de interés simple y 6 meses antes de vencerse el plazo, la tasa volvió a su valor inicial de 20% anual. Calcular en cuáles meses se aplicó la tasa de 12% anual.

8-Se coloca 5.000.000 a interés simple durante 6 años. En los dos primeros años a una tasa de 24% anual; en el tercer año al 36% anual y en los tres últimos años al 33% anual. A los 18 meses se realiza un aporte de capital igual al monto acumulado hasta finales del mes 9 y al termino del quinto año se efectúa un retiro de capital igual a los intereses ganados hasta el final del cuarto año. Calcular el monto acumulado al final de los 6 años.

Solución:

1º debo hallar el monto acumulado hasta el mes 9:

 5.000.000 x 24 x 9 / 1200 = 900.000 de interés

Monto a los 9 meses = 5.000.000 + 900.000 = 5.900.000 se agrega una cantidad igual a ésta a los 18 meses, por 18 meses el capital será 5.000.000 y luego cambiará a  5.000.000 + 5.900.000 =10.900.000

Pasamos ahora a calcular los intereses hasta que cambia el capital ( hasta los 18 meses ):

5.000.000 x 24 x 18 /1200 =1.800.000

A partir de los 18 meses y hasta que se cumplan 2 años al 24% restan 6 meses:

Intereses hasta los 2 años: 1.800.000 + 10.900.000 x 24 x 6 / 1200 = 3.108.000

Intereses ganados hasta el final del 4º año:  

3.108.000 + 10.900.000 x 36 x 1 / 100 + 10.900.000 x 33 x 1 / 100 = 10.629.000

5º año también al 33% :    10.900.000 x 33 /100 = 3.597.000, por lo tanto hasta el final del 5º año, de intereses tiene: I = 10.629.000 + 3.597.000 = 14.226.000

Queda el último año también al 33% pero el capital se reduce ; retira una cantidad igual a los intereses ganados hasta el final del 4º año que eran 10.629.000. Entonces su capital el último año pasa a ser de 

10.900.000 - 10.629.000 = 271.000

Interés del 6º año:  271.000 x 33 x 1 / 100 = 89.430

Intereses totales en 6 años : 14.226.000 +89.430 = 14.315.430

Monto al cabo de los 6 años:  C + I = 271.000 + 14.315.430 = 14.586.430

Aclaro que cuando se divide entre 1200, estamos tomando meses en lugar de años por eso multiplico el 100 del % por 12 que son los meses del año. También podríamos hallar la tasa mensual y sería lo mismo. 

Recuerda que como es interés simple, no se acumula el interés al capital y otra cosa que quiero aclarar es que la letra del ejercicio siempre habla de variación de capital y no de retiro de intereses que son 2 cosas distintas

Examen Matemática Financiera

1- a) Calcular el valor nominal de un documento que vence el 8/1/07 y que fue negociado el 3/11/06, obteniéndose al 12% un descuento comercial de $3900.
b) Se coloca el valor actual obtenido, al 23% anual con capitalización anual durante 3 años, calcular el monto rescatable al final del período.


2- Un comerciante compra 4 equipos de audio en $2748 los cuatro. Tres de ellos los vende ganando el 42% sobre P.C.y el cuarto, perdiendo 12% sobre P.C.
Calcular a) P.V. de c/u, IVA incluído
b) % G/C Y G/V total


3- Las 3/4 partes de un trabajo es realizada por 24 personas, trabajando 8h/día durante 5 días. Si se quiere terminar el trabajo en los próximos 2 días, trabajando 10h/día, ¿cuántas personas habrá que despedir?


4- Se abre una empresa con 2 socios que aportan: el 1o. $54.000 y el 2o. $120.000
Tres meses después, ingresa un 3o. que aporta $95.000
Al cuarto mes de iniciada la compañía, el 2o socio retira $35.000 y el 1o. agrega $44.000 mas.
Dos meses después de ésto, el 3er. socio pone $12.500 mas.
Si se reparte una ganancia de $618.057 al año de iniciada la compañía, ¿ cuánto corresponde a c/u ?

Examen Matemática Financiera

1)Una compañía de electricidad está en actividad desde hace 8 años, integrada por 3 socios :
Marquez, Silva y Ferreira.
El sr. Márquez aporta U/S 76.000 al inicio y a los dos años retira la mitad.
Silva inicia con U/S 40.000 y a los 3 años agrega U/S 12.000 más.
Ferreira se integra a los 4 años de iniciada la compañía, con un capital de U/S 95.000.
Si se reparte una ganancia de U/S 330.000, ¿ cuánto recibe cada socio ?.


2)Una fábrica cuenta con 450 empleados pero sólo el 10 % de ellos realiza la 5ª. parte de un trabajo para lo cual emplean 15 días de 8 h/ día . ¿ Cuánto demorarán en terminar el trabajo 18 personas en jornadas de 12 h/ día?


3)Los VN de 2 documentos suman $ 45.000. Ambos vencen dentro de 30 días y se descuentan comercialmente al 28 %. Calcular VA, sabiendo que el VN del 1° más $7200 es igual al VN del 2°.


4)Una persona deposita a plazo fijo, $ 7300 al 13,40 % semestral con capitalización semestral durante un año y $ 9300 con capitalización trimestral durante igual período.
Al cabo del año cobra $ 3700 de interés.
Calcular la tasa de colocación del 2° capital.

Examen Matemática Financiera

1- Tres socios aportan U/S 112.000 a una sociedad.
Al cabo de 2 años se reparte una ganancia de U/S 140.000, correspondiéndoles respectivamente U/S70.000 ; U/S 20.000 y U/S 50.000.
¿ Qué capital aportó cada socio ?


2- a) En un almacén hay dos sacos de arroz.
Si retiro 5 kg del 1° y los echo en el 2°, habría en el 2° los kg que antes había en el 1°, y si retiro 10 kg del 2° y los echo en el 1°, quedaría en el 2° la sexta parte del arroz contenido en el primer saco luego de agregados los 10 kg.
¿ Cuántos kg de arroz hay en cada saco ?

b) Si el arroz lo vendía a $ 18.50 IVA incluído por kg y hoy decide hacer un descuento del 8%, calcular :
i) Precio de venta hoy IVA incluído.
ii) % G/C y % G/V en la veta con y sin descuento, sabiendo que el costo del kg de arroz es de $ 12 (sin IVA )


3- Un documento fue levantado 44 días antes de su vencimiento obteniéndose al 17 % un descuento racional de $ 2745.
Calcular el valor nominal del documento.


4- Comparar un capital de $ 23200 colocado a 2 años a IS al 16 % anual y un capital igual, colocado al 14 % (TEA) a IC capitalizando trimestralmente por el mismo período.

Cuadriláteros y cuadrilátero inscriptible

1_ Construir un cuadrado cuyas diagonales midan 7 cm

2_ Construir un rombo ABCD (sentido horario) con las siguientes condiciones en cada caso: a) AB=4cm, AC=7cm b) AB=5cm y angulo BAD= 45º c)BC=6cm, angulo BAD=60º

3_ Construir los siguientes paralelogramos (sentido horario): a) BC=4cm, BD=6cm, angulo CBA= 30º b) CB=5cm, BD=8cm,AC=7cm c) AB=3cm, AC=6cm, angulo ABC=60º

4_ Construir los siguientes trapecios ABCD (sentido horario), con AB//CD, y tales que: a) CD=5cm, AD=3cm, anguloC= angulo D=60º b) AB=3cm, CD=5cm, angulo B=110º, angulo D=60º c) AB=3cm, BC=4cm, CD=6cm, AD=3cm.

5_Sea un triángulo ABC, tal que AB=5cm, angulo ACB=60º, mediana de AB= 3cm, y P, Q y R, los pies de las alturas sobre los lados AB, BC y AC respectivamente, siendo H su ortocentro. Hallar 6 cuadriláteros inscriptibles. Justificar.

6_ Sea una cfa C de centro O y radio r y AB un diámetro de ella. Sea C un punto cualquiera de AB(segmento) y x una recta por C que corta a la cfa en P y Q / angulo PCO=45º. Por Q se traza la perpendicular a AB que corta a la cfa en N
Probar que el triángulo QNC es isósceles.
Probar que NCOP es inscriptible.

7_ Sea AOB un triangulo rectángulo en O e isósceles y un punto H perteneciente Al segmento OB. Sea p/ p es la perpendicular por B a AH(recta) , p intersección AH=I, p intersección OA=D
a) Demostrar que BIOA es inscriptible
b) Probar que OHID es inscriptible

8_ En una cfa de centro O se trazan los diámetros perpendiculares AB y CD. Por C se traza la recta s que corta a AB en M, y a la cfa en N. Sea P el punto de corte de la tg a la cfa en N, con la perpendicular a AB por M. Probar que el cuadrilatero OMNP es inscriptible.

9_ Sea una semicfa de diámetro AB y C un pto de ella. Se consideran los cuadrados BCDE y CANM de centros J e I . Sea K la proyección de C sobre AB.
a) Probar que I, C y J estan alineados
b) Probar que IAKC y CKBJ son inscriptibles

Free Counter

Ejercicios de Lugar Geométrico

1- Se da un triangulo ABC rectángulo y un punto fijo M sobre la hipotenusa. Se traza por M una recta variable que corta a los catetos AB y AC en B´y C´.

Se trazan las cfas MBB´y MCC´ .Hallar el L.G. de P, intersección de ambas cfas.

2- Se da una cfa y los puntos A y B fijos en ella. Se consideran los triangulos MAB siendo M un punto de la cfa. Hallar a)L.G. del incentro b) L.G. del ortocentro

3- Se da una cfa fija y un diámetro fijo a. Se considera Ti variable sobre la cfa Sea TiBi perpendicular a a , y sobre OT i se toma Ai / OA i=TiBi

L.G. de Ai al variar Ti sobre C

4- Dada una semicfa de diámetro AB y Ci un punto que pertenece a la semicfa.

Uno A con C y lo prolongo y tomo P perteneciente a la recta AC / CP=AC.

L.G. de P al variar C

5_ Se da una recta r y un segmento AB perpendicular a r en A.

Se considera Mi variable sobre r.

L.G. de A´ simétrico de A respecto de la recta BM

6_ ABCD es un paralelogramo / el lado AB es fijo y la altura respecto de dicho lado, es constante.

L.G. de los puntos de intersección de las diagonales al variar CD.

7_ Un ángulo constante BAC gira alrededor de su vértice fijo A sobre una cfa de centro O. Los lados cortan a la cfa en B y C

L.G. del punto medio Mi de BC

8_ A y B son 2 puntos fijos de una recta r.

Se consideran las cfas tgs a la recta r en B y desde A se trazan las tgs a dichas cfas, siendo Ti el punto de tgencia distinto de B.

L.G. de Ti

9_ a) Sea Pi un punto variable en un arco capaz de cuerda AB y ángulo 45º / los ángulos PBA y PAB son menores o iguales a 90º, hallar el ortocentro O del triángulo ABP

b) Sean Ha y Hb los pies de las alturas correspondientes a los lados a y b , demostrar que HbOHaPi es inscriptible

c) Hallar la medida del ángulo AOB
d) L.G. de O al variar P

10_ a) Construir un cuadrilátero birrectángulo ABCD sabiendo que AB= 5cm, diagonal mayor= 8 cm y el ángulo BCD= 120º

b) Demostrar que el ángulo DBC= al ángulo ADB

c) Construir un triángulo ABC con AB= 6cm, el ángulo C= 60º y mediana AB= 3/4 de AB.

d) Siendo Hb el pie de la altura correspondiente al lado b, hallar el L.G. de Hb al variar C en el arco de 60º

Examen de Matematicas B 3º BT

1-a) Hallar la ecuación de la cfa que pasa por A(2,1) B(-1,-2) y cuyo centro pertenece al eje de las y.

b) Hallar la ecuación de la cfa C´ que pasa por A, B y P(1,1)

c) Ecuación de la tg. en P a la cfa C´.

2-Maximizar la función objetivo Z = f(x,y) = 3x+8y

sujeta a las restricciones 4x+5y menor o igual que 40

2x+5y menor o igual que 30

x mayor o igual que 0

y mayor o igual que 0

3-Se dan 2 rectas perpendiculares r y r´ que se cortan en O. Sobre r se considera el punto A fijo y sobre r´ el B, tal que OA = OB = cte.

Sea C un punto variable del segmento OB. Se traza la recta AC y desde B se traza la perpendicular a AC. Esta perpendicular corta a AC en E y a r en D.

a) Demostrar que DO = OC

b) L.G. de E al variar C

c) Demostrar que el cuadrilátero DOCE es inscriptible .

4-En el triángulo ABC se dan :

a) Ecuación del lado AB : 5x – 3y + 2 = 0

b) Ecuacón de la altura correspondiente al vértice A : 4x – 3y + 1 = 0

c) Ecuación de la altura correspondiente al vértice B : 7x + 2y – 22 = 0

Se pide hallar las ecuaciones de los otros 2 lados y de la 3er. altura

EXAMEN MATEMATICAS B 3º BT

1- a) Escribir la ecuación de la parábola que pasa por los puntos A (2,-3), B (5,1) y C (-4,-4)

b) EAYRG de la parábola de la parte a)

c) Sea r una recta paralela a la recta s de ecuación y = -2x+3 y que pasa por el origen. Hallar r interseccion parábola.

2- Sea T un punto de una cfa de centro O y radio r, y TR un segmento de tg igual al diámetro.

Por R se traza la otra tg que toca a la cfa en S. Hallar el L.G.del punto M de intersección de TS y OR cuando T varía en la cfa.

3- Se considera el rombo A(2,0), B(0,-3), C(-2,0), D(0,-3)

Se traza por D una recta de coeficiente angular 3 que corta a CB en E y a BA en F

a) Coordenadas de I = CF interseccion AE

b) Sea P(0,1) y A´ el simétrico de A respecto de P, hallar las coordenadas de A´

4- Maximizar la función objetivo Z = f(x,y) = x+y

Sujeta a las restricciones 0 menor o igual que x menor o igual que 4

0 menor o igual que y menor o igual que 4

y mayor o igual que x