Movimientos en el plano

1- Sean A, B y C , 3 puntos no alineados, sentido horario.
C ( B ) de A =A1, C ( C ) de A1= A2, C ( A ) de A2= A3
a) Sea D el punto de intersección de CB con A1A3, probar que D es punto medio de A1A3
Probar que C ( B ) de C = D
b) Determinar M/ R ( C, ángulo ACB hor. ) . M . T ( A3A1 ) = R ( C, ángulo ACB hor. ) . C (C)
c) Hallar el punto del contorno del triángulo A1A2A3/ la distancia a su imagen sea mínima segun M
Calcular area y perímetro del A1A2A3 en f (ABC ) sabiendo que M ( A1A2A3 ) =A´1A´2A´3


2- ABCD es un cuadrado antihorario. E es el punto medio de AB . O es el centro del cuadrado.
Deducir I / I = R ( E, 90ºhor.) . R ( O, 90ºant.)


3- a) Construir un triángulo ABC de base AB= 4cm y ángulo C=50º. Elegir la solución en que el triángulo es isosceles.
b) Calcular su area
c) Resolver el movimiento producto M = S ( AB ) . S ( AC ) . C ( A )

4- ABC, ACM y CMN son triángulos congruentes equiláteros.Determinar las isometrías que transforman el ABC en a) MCN b) MNC c) CNM d) CMN e)NMC

Movimientos en el plano

1- a) Construir un petágono regular ABCDE de 2cm de lado.
b) Aplicar M = S(DE) . R (o, 60º horario) . S (d ) siendo d una recta tg en D a la cfa circunscripta al pentágono.

2- Construir un paralelogramo tipo ABCD sabiendo que una de sus diagonales AC = 3cm y es perpendicular al lado AB y que BC= 4cm.
Calcular el área del paralelogramo.
Aplicar M = T( 2DC) . C (D ). S( BD)

3- Sea ABCD un cuadrilátero inscriptible/ ángulo BCD = 45º, la diagonal BD = 4 cm y AB= 2cm
Construirlo para que sus diagonales sean perpendiculares
Aplicar M = C( E ). T (DC ). R (A,75ºant.) . S (AB)
E pertenece a BD y dista 6cm de B y 2 de D.

4- Se da un cuadrado ABCD de lado 3cm y se considera M = R ( A, 90ºant. ) . C (B) . S (CD)
Hallar el movimento producto.

5- Sea ABC un triángulo equilátero.
Hallar M = T ( AC ) . S (BC ) . C ( P ), siendo Pun punto cualquiera del plano.

6- ABCD es un rectángulo
Hallar M = S (AD ) . C (C ) . T ( AB )

7- Sea ABC un triángulo rectángulo isósceles / AB=AC.
M es el punto medio de AB y N el de BC
Estudiar M= C ( M ) . T ( AC ) . R ( N, 90ºant. )

8- ABCD es un rombo
M es el punto de intersección de sus diagonales
Efectuar M = R ( A, 90ºhor. ) . T( AM)

9- ABCD es un paralelogramo tipo/ AB=4, AC=6, hAB= 3
Sea M = C( A) . S( AB) . T (BD) .T( AC)
Hallar la imagen resultante

10- ABCD es un cuadrilátero inscripto en una cfa, AB = 3 cm, ángulo ACB =45º, BD = 2cm, ángulo BCD = 30º
Resolver M = C (C) . C (A ). C( B) . R( A, 90ºhor.)

Movimiento y L.G.

Sea A un punto fijo de una cfa C. Se considera la rotación de centro A y ángulo a menor de180º, sentido antihorario. Sea Pi un punto variable de la cfa y P´i su imagen en la rotación.
a) L.G. del incentro del triángulo APiP´i al variarPi sobre la cfa.
b) Hallar los puntos de la cfa que distan de su imagen una distancia dada h. Discutir.

Lugar Geométrico

1- Se da un triángulo ABC, rectángulo en A, y un punto fijo M sobre la hipotenusa. Se traza por M una recta variable que corta a los catetos AB y AC en B´y C´. Se trazan las cfas MBB´y MCC´.
Hallar el lugar geométrico de P intersección de ambas cfas.

2- Se da una cfa y los puntos A y B fijos en ella. Se consideran los triángulos MAB siendo M un punto variable de la cfa a) L.G. del incentro b) L.G. del ortocentro.

3- Se da una cfa fija y un diámetro fijo a. Se considera Ti variable sobre la cfa. Sea TiBi perpendicular a ´a´ y sobre OTi se toma Ai / OAi =TiBi (siendo O el centro de la cfa ). L.G.de
Ai al variar Ti sobre la cfa.

4- Se da una cfa de centro O y radio r y un diámetro fijo AB. Se trazan diámetros variables y se
construye el rectángulo APQR con P y Q pertenecientes al diámetro variable, y R sobre la cfa
a) Trazar el diámetro de modo que APQR sea un cuadrado
b) L.G. del centro del rectángulo y del punto Q al variar el diámetro.
c) Construir el rectángulo de área máxima.

5- Sea una cfa de centro O y una recta r.
M es un punto cualquiera de la recta desde el cual se trazan las tangentes MN y MP a la cfa.
La cuerda NP corta a OM en A y a la perpendicular a r, OH en K.
a) Probar que OA.OM =OK.OH =cte y deducir de aqui que K es fijo
b)L.G. de A
c) L.G. del centro de la cfa inscripta al triángulo MNP.

6- Demostrar que la suma de las distanciade los 4 vértices de un cuadrilátero a una recta dada es igual a 4 veces la distancia del punto de intersección de las rectas que unen los puntos medios de los lados opuestos a dicha recta

Examen 1º EMT

1- a) Hallar la función lineal que pasa por los puntos A ( 2,-2) y B ( -1,5 )

b) Graficar

2- Dada la función cuadrática y= x2 – 3x + 2, representarla gráficamente.

3- Resolver el triángulo ABC sabiendo que a = 45. ángulo A= 38º, ángulo B= 87º

4- Resolver log ( x2 – 15x ) = 3 ( base 10 )

Movimientos en el plano

1-Dado un triángulo ABC cualquiera, se aplica simetria central de centro A (CA) y se obtiene AMN simétrico de ABC, se aplica CB y se obtiene BPQ simétrico de ABC y CC y obtengo CRS simétrico de ABC. Se forma un hexágono MNPQRS.

a) Demostrar que el hexágono tiene sus lados opuestos paralelos.

b) Demostrar que el perímetro del hexágono es el triple del perímetro del ABC.

2- a) Construir un triángulo ABC tal que AB= 3cm, la altura desde C ( hC ) =3cm y el ángulo C= 40º. Elegir la solución en que el ángulo C se encuentre mas a la izquierda.

b)Sea A´el simétrico de A respecto de BC, si el ángulo B= 50º, demostrar que el cuadrilátero ABA´C es inscriptible.

c)Resolver el movimiento producto M = S AB . S AC .CA

3- Dados en un plano 2 puntos M y N y 2 rectas r y s, construir un paralelogramo MNPQ tal que los vértices P y Q estén c/u en una de las rectas dadas ( traslación )

4- Dadas 2 cfas C y C´ de centros O y O´ respectivamente, encontrar un punto A de la primera y un punto B de la segunda de tal manera que el segmento AB tenga longitud y dirección iguales a las de un vector dado.(traslación)

5-Dados dos puntos A y B a un mismo lado de una recta dada r, hallar el punto C de r de forma que la suma de los segmentos AC y CB sea mínima ( simetría axial)

6- Construir un triángulo conociendo las longitudes de sus lados a y b y el ángulo a igual a la diferencia entre los ángulos A y B opuestos a los lados dados..(sim. Axial).

7-Dadas dos rectas r y s y un punto P, trazar por P una recta tal que sus puntos de intersección con r y s determinen un segmento cuyo punto medio sea P.( sim. Central)

8- Construir un triángulo ABC dadas las longitudes de sus tres medianas ( sim. Central)

9-Construir un triángulo equilátero cuyos vértices A, B, C estén situados, respectivamente, en las rectas r, s y t que son paralelas entre sí. (rotación)

10-Construir un cuadrado que tenga un vértice en un punto dado O y los dos contiguos A y B en la recta r el primero de ellos y en la recta s el segundo suponiendo que estas rectas no pasan por O.(rotacion)

Regla de Compañía

1 .Tres socios aportan a una sociedad 56.000 dólares en total. Al final del ejercicio la ganancia obtenida es repartida correspondiendoles 2000, 5000 y 7000 dólares a cada socio respectivamente. Averiguar qué capital aportó cada socio.

2. Tres individuos se asocian para fabricar tapones de corcho. El primero pone 12.800 kilogramos de corcho a 29 dólares el kilogramo y 2000 dólares en dinero. El segundo pone 35.000 kilogramos de corcho especial a 60 dólares el kilogramo. El tercero, 9075 kilogramos de corcho de 18 dólares el kilogramo y 2500 dólares en dinero, admitiendo un cuarto socio como director a quien aseguran 10% de las ganancias a obtener. Transcurridos seis meses el primero coloca 7500 dólares más y dos meses después de esto, el tercero retiró 800 dólares. Luego de dos años y medio de abierta la fábrica ganaron un millón y medio de dólares. Que parte de la ganancia retiró cada uno.

3 .Una compañía que esta en actividad desde hace dos años se compone de tres socios. El socio A inicia la compañía con 50.000 dólares de los cinco meses retira un quinto de su capital. El socio B, ingresa a los dos meses de iniciado el negocio con 37.000 dólares y a los cuatro meses agrega 12.500 más. El socios C se integra al año de iniciada la compañía con 73.000 dólares. Se desea repartir una ganancia de 128.000 dólares. Cuánto recibe cada socio.

4.Una persona A inicia un negocio con 45.000 pesos. A los seis meses se asocia una segunda B con 53.000 pesos, dos meses después de esto el socio A retira 13.200 pesos. Diez meses después de iniciada la compañía tiene un tercer socio C, que aporta 34.000 pesos. Un mes después, el socio A retira 8700 pesos. Al año de iniciada la compañía, se reparten una ganancia 18.700 pesos . Cuánto corresponde a cada uno

5. Una señora abre una empresa con 9000 dólares. A los seis meses se asocia otra con 7000. A los tres meses de compartir la empresa, la primera señora agrega 2000 dólares más y a los cuatro meses de esto, retira 20% de su capital. Catorce meses después de formada la sociedad, se reparten 4269 dólares. Cuánto corresponde a cada una

6. Tres personas inician negocio con 13.500, 18.000 y 22.000 pesos respectivamente. Al cabo de dos meses, la primera retira 4000 y la tercera aportan 3700 más. Pasado un año de iniciado el negocio, tienen una pérdida de 5800 pesos. Que parte corresponde a cada una.

7. Cuatro individuos se asocian para poner una fábrica. El primero invierte 23.000 dólares, el segundo 13.700, el tercero 10900 y el cuarto, 9700 dólares. Transcurridos seis meses el primero aportan 3500 más. A los nueve meses de iniciado el negocio, el segundo se retira. Dos años más tarde se reparte una ganancia de 48.000 dólares cuanto toca a cada uno