Movimientos en el plano

1-I)Resolver M que transforma en cada caso:
a)ABCD _______ DCEF
b)ABCD _______ FECD
c)ABCD _______ EFDC
d)ABCD _______ FDCE
II)Sea M´=a .b .c . d Resolver M´

2)AB es una cuerda de 4 cm. Se traza ángulo ACB =40º
Determinar D y D´ en la intersección del arco capaz con AO y BO siendo O el centro de la cfa.
Calcular los ángulos del cuadrilátero DD´AB
Aplicar M= C_B . C_D´ . S_AB

Examen 1º EMT

1- Construir un triángulo ABC/ AB= 3cm
ángulo ACB=60º
hC=2,5cm
Clasificar el triángulo
Graficar los puntos del plano que equidistan de AC y BC

2- Construir un trapecio isósceles ABCD horario/ AD= base mayor=5cm
ángulo ACD=90º
AC=4cm
Calcular los lados y ángulos del ABCD

3- Trazar una cfa que pase por 3 puntos no alineados A, B, y C
Sea r una recta exterior a la cfa trazada. Trazar las cfas tangentes a r y a la primera cfa. Indicar nº de soluciones

Examen 1º EMT

1-Construir un triángulo ABC/ AC= 6cm

hB= 4cm

AB= 5cm

Ubicar todos los puntos X del plano que cumplen: XA=XB

d( X,C )=3cm

2-Construir un triángulo PQR/ PQ=PR=6cm

QR=4cm

Hallar los ángulos y el area del triángulo

3-Construir un paralelogramo ABCD/ AB=6cm

AC=9cm

Ángulo BAC=60º

Construir un trapecio birrectángulo ABCD/ AB=7cm

Ángulo BAC=60º

h=4cm

Movimientos en el plano

1- Sean A, B y C , 3 puntos no alineados, sentido horario.
C ( B ) de A =A1, C ( C ) de A1= A2, C ( A ) de A2= A3
a) Sea D el punto de intersección de CB con A1A3, probar que D es punto medio de A1A3
Probar que C ( B ) de C = D
b) Determinar M/ R ( C, ángulo ACB hor. ) . M . T ( A3A1 ) = R ( C, ángulo ACB hor. ) . C (C)
c) Hallar el punto del contorno del triángulo A1A2A3/ la distancia a su imagen sea mínima segun M
Calcular area y perímetro del A1A2A3 en f (ABC ) sabiendo que M ( A1A2A3 ) =A´1A´2A´3


2- ABCD es un cuadrado antihorario. E es el punto medio de AB . O es el centro del cuadrado.
Deducir I / I = R ( E, 90ºhor.) . R ( O, 90ºant.)


3- a) Construir un triángulo ABC de base AB= 4cm y ángulo C=50º. Elegir la solución en que el triángulo es isosceles.
b) Calcular su area
c) Resolver el movimiento producto M = S ( AB ) . S ( AC ) . C ( A )

4- ABC, ACM y CMN son triángulos congruentes equiláteros.Determinar las isometrías que transforman el ABC en a) MCN b) MNC c) CNM d) CMN e)NMC

Movimientos en el plano

1- a) Construir un petágono regular ABCDE de 2cm de lado.
b) Aplicar M = S(DE) . R (o, 60º horario) . S (d ) siendo d una recta tg en D a la cfa circunscripta al pentágono.

2- Construir un paralelogramo tipo ABCD sabiendo que una de sus diagonales AC = 3cm y es perpendicular al lado AB y que BC= 4cm.
Calcular el área del paralelogramo.
Aplicar M = T( 2DC) . C (D ). S( BD)

3- Sea ABCD un cuadrilátero inscriptible/ ángulo BCD = 45º, la diagonal BD = 4 cm y AB= 2cm
Construirlo para que sus diagonales sean perpendiculares
Aplicar M = C( E ). T (DC ). R (A,75ºant.) . S (AB)
E pertenece a BD y dista 6cm de B y 2 de D.

4- Se da un cuadrado ABCD de lado 3cm y se considera M = R ( A, 90ºant. ) . C (B) . S (CD)
Hallar el movimento producto.

5- Sea ABC un triángulo equilátero.
Hallar M = T ( AC ) . S (BC ) . C ( P ), siendo Pun punto cualquiera del plano.

6- ABCD es un rectángulo
Hallar M = S (AD ) . C (C ) . T ( AB )

7- Sea ABC un triángulo rectángulo isósceles / AB=AC.
M es el punto medio de AB y N el de BC
Estudiar M= C ( M ) . T ( AC ) . R ( N, 90ºant. )

8- ABCD es un rombo
M es el punto de intersección de sus diagonales
Efectuar M = R ( A, 90ºhor. ) . T( AM)

9- ABCD es un paralelogramo tipo/ AB=4, AC=6, hAB= 3
Sea M = C( A) . S( AB) . T (BD) .T( AC)
Hallar la imagen resultante

10- ABCD es un cuadrilátero inscripto en una cfa, AB = 3 cm, ángulo ACB =45º, BD = 2cm, ángulo BCD = 30º
Resolver M = C (C) . C (A ). C( B) . R( A, 90ºhor.)

Movimiento y L.G.

Sea A un punto fijo de una cfa C. Se considera la rotación de centro A y ángulo a menor de180º, sentido antihorario. Sea Pi un punto variable de la cfa y P´i su imagen en la rotación.
a) L.G. del incentro del triángulo APiP´i al variarPi sobre la cfa.
b) Hallar los puntos de la cfa que distan de su imagen una distancia dada h. Discutir.

Lugar Geométrico

1- Se da un triángulo ABC, rectángulo en A, y un punto fijo M sobre la hipotenusa. Se traza por M una recta variable que corta a los catetos AB y AC en B´y C´. Se trazan las cfas MBB´y MCC´.
Hallar el lugar geométrico de P intersección de ambas cfas.

2- Se da una cfa y los puntos A y B fijos en ella. Se consideran los triángulos MAB siendo M un punto variable de la cfa a) L.G. del incentro b) L.G. del ortocentro.

3- Se da una cfa fija y un diámetro fijo a. Se considera Ti variable sobre la cfa. Sea TiBi perpendicular a ´a´ y sobre OTi se toma Ai / OAi =TiBi (siendo O el centro de la cfa ). L.G.de
Ai al variar Ti sobre la cfa.

4- Se da una cfa de centro O y radio r y un diámetro fijo AB. Se trazan diámetros variables y se
construye el rectángulo APQR con P y Q pertenecientes al diámetro variable, y R sobre la cfa
a) Trazar el diámetro de modo que APQR sea un cuadrado
b) L.G. del centro del rectángulo y del punto Q al variar el diámetro.
c) Construir el rectángulo de área máxima.

5- Sea una cfa de centro O y una recta r.
M es un punto cualquiera de la recta desde el cual se trazan las tangentes MN y MP a la cfa.
La cuerda NP corta a OM en A y a la perpendicular a r, OH en K.
a) Probar que OA.OM =OK.OH =cte y deducir de aqui que K es fijo
b)L.G. de A
c) L.G. del centro de la cfa inscripta al triángulo MNP.

6- Demostrar que la suma de las distanciade los 4 vértices de un cuadrilátero a una recta dada es igual a 4 veces la distancia del punto de intersección de las rectas que unen los puntos medios de los lados opuestos a dicha recta

Movimientos en el plano

1-Dado un triángulo ABC cualquiera, se aplica simetria central de centro A (CA) y se obtiene AMN simétrico de ABC, se aplica CB y se obtiene BPQ simétrico de ABC y CC y obtengo CRS simétrico de ABC. Se forma un hexágono MNPQRS.

a) Demostrar que el hexágono tiene sus lados opuestos paralelos.

b) Demostrar que el perímetro del hexágono es el triple del perímetro del ABC.

2- a) Construir un triángulo ABC tal que AB= 3cm, la altura desde C ( hC ) =3cm y el ángulo C= 40º. Elegir la solución en que el ángulo C se encuentre mas a la izquierda.

b)Sea A´el simétrico de A respecto de BC, si el ángulo B= 50º, demostrar que el cuadrilátero ABA´C es inscriptible.

c)Resolver el movimiento producto M = S AB . S AC .CA

3- Dados en un plano 2 puntos M y N y 2 rectas r y s, construir un paralelogramo MNPQ tal que los vértices P y Q estén c/u en una de las rectas dadas ( traslación )

4- Dadas 2 cfas C y C´ de centros O y O´ respectivamente, encontrar un punto A de la primera y un punto B de la segunda de tal manera que el segmento AB tenga longitud y dirección iguales a las de un vector dado.(traslación)

5-Dados dos puntos A y B a un mismo lado de una recta dada r, hallar el punto C de r de forma que la suma de los segmentos AC y CB sea mínima ( simetría axial)

6- Construir un triángulo conociendo las longitudes de sus lados a y b y el ángulo a igual a la diferencia entre los ángulos A y B opuestos a los lados dados..(sim. Axial).

7-Dadas dos rectas r y s y un punto P, trazar por P una recta tal que sus puntos de intersección con r y s determinen un segmento cuyo punto medio sea P.( sim. Central)

8- Construir un triángulo ABC dadas las longitudes de sus tres medianas ( sim. Central)

9-Construir un triángulo equilátero cuyos vértices A, B, C estén situados, respectivamente, en las rectas r, s y t que son paralelas entre sí. (rotación)

10-Construir un cuadrado que tenga un vértice en un punto dado O y los dos contiguos A y B en la recta r el primero de ellos y en la recta s el segundo suponiendo que estas rectas no pasan por O.(rotacion)

Cuadriláteros y cuadrilátero inscriptible

1_ Construir un cuadrado cuyas diagonales midan 7 cm

2_ Construir un rombo ABCD (sentido horario) con las siguientes condiciones en cada caso: a) AB=4cm, AC=7cm b) AB=5cm y angulo BAD= 45º c)BC=6cm, angulo BAD=60º

3_ Construir los siguientes paralelogramos (sentido horario): a) BC=4cm, BD=6cm, angulo CBA= 30º b) CB=5cm, BD=8cm,AC=7cm c) AB=3cm, AC=6cm, angulo ABC=60º

4_ Construir los siguientes trapecios ABCD (sentido horario), con AB//CD, y tales que: a) CD=5cm, AD=3cm, anguloC= angulo D=60º b) AB=3cm, CD=5cm, angulo B=110º, angulo D=60º c) AB=3cm, BC=4cm, CD=6cm, AD=3cm.

5_Sea un triángulo ABC, tal que AB=5cm, angulo ACB=60º, mediana de AB= 3cm, y P, Q y R, los pies de las alturas sobre los lados AB, BC y AC respectivamente, siendo H su ortocentro. Hallar 6 cuadriláteros inscriptibles. Justificar.

6_ Sea una cfa C de centro O y radio r y AB un diámetro de ella. Sea C un punto cualquiera de AB(segmento) y x una recta por C que corta a la cfa en P y Q / angulo PCO=45º. Por Q se traza la perpendicular a AB que corta a la cfa en N
Probar que el triángulo QNC es isósceles.
Probar que NCOP es inscriptible.

7_ Sea AOB un triangulo rectángulo en O e isósceles y un punto H perteneciente Al segmento OB. Sea p/ p es la perpendicular por B a AH(recta) , p intersección AH=I, p intersección OA=D
a) Demostrar que BIOA es inscriptible
b) Probar que OHID es inscriptible

8_ En una cfa de centro O se trazan los diámetros perpendiculares AB y CD. Por C se traza la recta s que corta a AB en M, y a la cfa en N. Sea P el punto de corte de la tg a la cfa en N, con la perpendicular a AB por M. Probar que el cuadrilatero OMNP es inscriptible.

9_ Sea una semicfa de diámetro AB y C un pto de ella. Se consideran los cuadrados BCDE y CANM de centros J e I . Sea K la proyección de C sobre AB.
a) Probar que I, C y J estan alineados
b) Probar que IAKC y CKBJ son inscriptibles

Ejercicios de Lugar Geométrico

1- Se da un triangulo ABC rectángulo y un punto fijo M sobre la hipotenusa. Se traza por M una recta variable que corta a los catetos AB y AC en B´y C´.

Se trazan las cfas MBB´y MCC´ .Hallar el L.G. de P, intersección de ambas cfas.

2- Se da una cfa y los puntos A y B fijos en ella. Se consideran los triangulos MAB siendo M un punto de la cfa. Hallar a)L.G. del incentro b) L.G. del ortocentro

3- Se da una cfa fija y un diámetro fijo a. Se considera Ti variable sobre la cfa Sea TiBi perpendicular a a , y sobre OT i se toma Ai / OA i=TiBi

L.G. de Ai al variar Ti sobre C

4- Dada una semicfa de diámetro AB y Ci un punto que pertenece a la semicfa.

Uno A con C y lo prolongo y tomo P perteneciente a la recta AC / CP=AC.

L.G. de P al variar C

5_ Se da una recta r y un segmento AB perpendicular a r en A.

Se considera Mi variable sobre r.

L.G. de A´ simétrico de A respecto de la recta BM

6_ ABCD es un paralelogramo / el lado AB es fijo y la altura respecto de dicho lado, es constante.

L.G. de los puntos de intersección de las diagonales al variar CD.

7_ Un ángulo constante BAC gira alrededor de su vértice fijo A sobre una cfa de centro O. Los lados cortan a la cfa en B y C

L.G. del punto medio Mi de BC

8_ A y B son 2 puntos fijos de una recta r.

Se consideran las cfas tgs a la recta r en B y desde A se trazan las tgs a dichas cfas, siendo Ti el punto de tgencia distinto de B.

L.G. de Ti

9_ a) Sea Pi un punto variable en un arco capaz de cuerda AB y ángulo 45º / los ángulos PBA y PAB son menores o iguales a 90º, hallar el ortocentro O del triángulo ABP

b) Sean Ha y Hb los pies de las alturas correspondientes a los lados a y b , demostrar que HbOHaPi es inscriptible

c) Hallar la medida del ángulo AOB
d) L.G. de O al variar P

10_ a) Construir un cuadrilátero birrectángulo ABCD sabiendo que AB= 5cm, diagonal mayor= 8 cm y el ángulo BCD= 120º

b) Demostrar que el ángulo DBC= al ángulo ADB

c) Construir un triángulo ABC con AB= 6cm, el ángulo C= 60º y mediana AB= 3/4 de AB.

d) Siendo Hb el pie de la altura correspondiente al lado b, hallar el L.G. de Hb al variar C en el arco de 60º